9-abril-2013

Tema: Inversa de una Funcion

Sea f una funcion a uno y= f(x). La inversa de f, denota f-1 es una funcion tal que f-1 (f (x))=x para toda x en el dominio de

(1,2)   (1,2)
(2,3)   (2,2)
(3,4)   (3,3)
(5,6)   (4,3)


Pasos para encontrar la inversa de una funcion:
1)cambie (f(x) por y
2)intercambie la x con la y
3)despeje para y
4) el resultado es f-1(x)

ej.

f(x)= 3x - 2

 y  = 3x - 2

 x  = 3y - 2

x+2 = 3y

  3      3

y    = x + 2

           3

f-1(x)=  x + 2

               3

8 de abril de 2013.

Tema: Composición de funciones

14 de marzo de 2013.

Tema: Técnicas de trazado de gráficas

11 de marzo de 2013.

Tema: Dominio de Funciones

• A menudo el dominio de la función no aparece especificado; la función aparece indicada por una ecuación en dos variables. 
• En ese caso, Df = {x E R / y = f(x) E R} 
• El dominio de la función f es el conjunto mayor de números reales, tales que el valor resultante f (x) es un numero real (conjunto de valores de x).

Ejemplos:

5-marzo-2013

Tema: Funciones y graficas

En el calculo existe una expresion muy especial llamado cociente diferencial

F(x + h) -f (x) ,   h =/ 0
     h



Ej. f (x) = 3x + 2



Tres pasos:
1) f(x +h) = 3(x+h) +2
              =3x + 3h + 2
2) f(x+h)- f(x) = 3x+3h+2-(3x+2)
                      =3x/ + 3h +2/ -3x/ -2/
                           =3h
3) f(x+h) = 3h/
        h         h/
             =3

 

4-marzo-2013

Tema:Funciones y sus graficas

F(x)=y
y=2x-3
F(x)=2x-3

Ej. |x    l    f(x)|
       |-3 |    -9   
     |2  |     1    
     | 1 |    -1     
     | 0 |    -3      

f(-3)=2(-3)-3                             f(2)=2(2)-3
=-6-3                                         =4-3
=-9                                               =1


f(1)=2(1)-3                               f(0)=2(0)-3
=2-3                                             =-3
=-1 

28 de febrero de 2013
Tema: Relaciones y Funcioes


Rectas:

• lineal
• cuadratica
• cubica
• racional
• no funcion

Prueba de la recta vertical
   
       Una ecuacion define a una funcion si cada recta vertical en el sistema de coordenadas cartesianas pasa a lo mas por un punto de la grafica de la ecuacion. Si una recta vertical  pasa por dos o mas puntos de la grafica de una ecuacion, entonces la ecuacion no define una funcion.

27 de febrero de 2013
Tema: Relaciones y funciones


relacion- regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.

          1      a                  (1,b)       
          2      b                  (2,a)
          3      c                  (3,c)
                  d                  (3,d)

funcion- sean x y y dos conjuntos no vacios, una funcion de x a y es una relacion en la cual cada elemento del conjunto x le corresponde un unico elemento de x.


Definicion alterna de una funcion:
    Conjunto de pares ordenados (x,y) en el cual no existen 2 pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente.


Funciones en nuestro entorno:
    Se observan que una cantidad depende de otra.

•        La altura es una funcion de edad.
•        La temperatura es una funcion de la fecha.
•        El costo de enviar por correo un paquete es una funcion del peso.

21 de febrero de 2013

Pendiente - intercepto

Escriba de forma pendiente - intercepto de la ecuación que pasa por los puntos (-2,5) y (-8,1). Luego encuentre la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto (2,3) y la ecuacion de la recta perpendicular  que pasa por el punto (-1,2)

1) Ecuacion #1 :

    P1 (-2,5) ; P2 (-8,1)

   

    m = Y2 - Y1

           X2 - X1

m = 1-5     

       -8-(-2)

m = 2

       3

Y - Y1 = m ( X1-X2)

Y - 5 = 2/3 ( X - 2 )

Y - 5 = 2/3x + 4/3

Y = 2/3x + 4/3 +  5

Y = 2/3x + 19/3

  Ecuacion #2 :

  m = 2/3 (2,3)

  Y - Y1 = m ( X - X1)

  Y - 3 = 2/3 ( X - 2)

  Y - 3 = 2/3x - 4/3

  Y = 2/3x - 4/3 + 3

  Y = 2/3x - 5

  Ecuacion #3 :

  m = 3/2 (-1,2)

 Y - Y1 = m ( X - X1 )

 Y - 2 = 3/2 ( X + 1 )

 Y - 2 = 3/2x - 3/2

 Y = 3/2x - 3/2 + 2

 Y = 3/2x - 1/2

19 de febrero de 2013

Pendiente de una recta

Una recta se determina por dos puntos diferentes. También queda determinada por uno de sus puntos y alguna medida de su inclinación de una recta se denomina pendiente.

(y = mx + b)

1) Pasa por (5,6) ; m = 3

    y - 6 = 3 (x-5)

    y - 6 = 3x - 15

    y = 3x - 15 + 6

    y = 3x - 9

2) Pasa por (-3,-1) ; m = 6

    y + 1 = 6 (x+3)

    y + 1 = 6x + 18

    y = 6x + 18 - 1

    y = 6x + 17

    

    

11 de febrero de 2013.

Tema: Gráficas y funciones

- Rectas y sus pendientes

Ecuación lineal en dos variables:

Ax + By = C

**Forma estándar de la ecuación lineal**

Interceptos:

intercepto X                 intercepto Y

y =0                             x = 0

Ej.  

1) 2x + 3y = 6

Intercepto x (y = 0)         Intercepto y (x =0)

2x + 3(0) = 6                  2(0) + 3y = 6

2x/2 = 6/2                       3y/3 = 6/3

x = 3                               y = 2

(3,0)                                (0,2)

** Falta gráfica**

X= variable independiente

Y= variable dependiente

2x + 3y = 6
X     Y
3      0
0      2
2     2/3
1     4/3
-1   8/10
-2  10/3

2x + 3y = 6
3y/3 = -2x/3 + 6/3
Y= -2x/3 + 2

1 de febrero de 2013.

Tema: Punto Medio

Punto medio  en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Ejemplo:

1) 

     

31 de enero de 2013

Halle la distancia y el punto medio



d = 5

 

22- enero-2013

                                                                         22-enero-2013
Tema: Pautas para seleccionar un metodo de conteo
1) Si los elementos seleccionados se pueden repetir utilice el principio fundamental de conteo
  Ej. cuantos numeros de 4 digitos existen ?
  1er   2do   3ero   4to
   9       10      10      10
9 * 10^3 = 9,000

2) Si los elementos seleccionados no pueden repetirse y el orden es importante utilice las permutaciones
  Ej. De cuantas formas se pueden formar en al fila de una taquilla tres de 8 personas ?

   P(8,3) =   8!    = 336
                 (8-3) !
3) Si los elementos no pueden repetirse y el orden no es importante utilice las combinaciones
   Ej. De cuantas formas se pueden elegir un comite de 3 formado por 12 personas ?
   
   C(12,3) =      12 !    = 220
                    3! (12-3) !

18 de enero de 2013       Resuelva cada ejercicio con permutaciones o combinaciones:                      

1- De cuantas formas posibles pueden presentarse el primero, segundo y tercer lugar en una carrera que compiten seis corredores?

P= n! / (n-r) !
P= 6! / (6-3) !
P= 720 / 6
P=120

2- De cuantas formas puede una muestra de 5 reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de 24 reproduciones?

C= n! / r! (n-r) !
C= 24! / (5! (24-5) ! )
C= 6.20 / 1.46
C= 4.25

17 de enero de 2013.

Tema: Combinaciones

Combinaciones:

Es cada uno delos diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entres si, solo por los elementos que las conforman.

C (n,r) = n!

               r! (n-r) !

*Existen muchas similitudes entre las permutaciones y combinaciones como por ejemplo no se permiten repeticiones.



16 de enero de 2013

Uso de permutaciones y combinaciones

Permutaciones

En el contexto de los problemas de conteo, a menudo a los arreglos se les conoce como permutaciones; el numero de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez, se escribe como P (n,r). Puesto que el numero de objetos que debe acomodarse no puede exceder al total disponible, para nuestros objetivos suponemos que r < n. Al aplicar el principio fundamental de conteo para arreglos de este tipo obtenemos

P (n,r) = n(n-1) (n-2)... [n-(r-1)]

1)De cuantas formas pueden acomodarse en fila los 5 miembros de un club para tomarse una foto.

   5! = 5*4*3*2*1 = 120

   P(5,5) =   5!    = 5!   = 120

                 (5-5)!    1      

15 enero 2013

                                                                                   15-enero-2013

Tema : Factoriales (!)

Esta seccion comenzo con una exposicion de numeros de tres digitos no repetidos del conjunto {1,2,3} El numero de posibilidades fue de:

1 < 2 ---- 3
      3 -----2

2 < 1------3
      3------1

3 < 1------2
      2------1
de acuerdo con el principio fundamental de conteo esto es 3*2*1=6 Este producto tambien puede ser considerado como el numero total de disposiciones de los digitos 1,2,3 

Por definicion podemos decir que:
Para cualquier numero natural n, la cantidad n factorial esta dada por:

n!= n (n - 1)(n - 2).... 2*1

Ejemplo:
1) 2! = 2*1
2) 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720
3) (6-3)! = 3! = 6
4) 6! = 720 = 30
    4!     24
5) (12) ! = 3! = 6

    (4  )
6) 8! - 5! = 40,320 - 120 = 40,200
7) 5!    =  5! =  20
   (5 - 2)   3!
8)      10!      =    10!     = 210
    4!(10 - 4) !   (4! * 6!)


* nota *
0! = 1
 

11 enero 2013

Tema: Principio fundamental de conteo                                                           11/enero/2013

       Cuando una tarea consiste en k fases separadas, si la primera puede realizar en n1 formar, la segunda puede hacerse en n2 formas, etc, y asi hasta k-esima fase, que puede hacerse nk formas. Entonces, el numero total de resultados posibles para completar la tarea esta dado por el producto de: n1 x n2 x n3 ... nk

   Ej:  Cuantos numeros de dos digitos hay en nuestro sistema numerico (base 10) de los numeros naturales?
       
            parte de la tarea               1er digito           2do digito 
            numero de formas                 9           x           10           =  90

         Cuantos numeros naturales naturales impares de tres digitos hay?

            parte de la tarea               1er digito            2do digito            3er digito
            numero de formas                  8           x           8            x           5             = 320


    Las tablillas de los autos tienen tres letras seguidas de tres numeros. Cuantos tablillas diferentes son posibles?

    (letras) 26^3 x 10^3 (numeros) = 17,576,000        

10 de enero de 2013.

Continuación:

Diagrama de árbol:

Un diagramsa de árbol es una herramienta que se usa para determinar todos los posibles resultados de una experiencia aleatorio.

Enm el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el númerode elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

Ejemplo: Determine cuantos números de tres dígitos pueden escribirse con los dígitos {1 2 3}|

a) Se permiten repetir  los dígitos

b)No se repiten los dígitos

1) 1 < 2---3     

          3----2

2)  2 < 1----3

           3----1

3)  3 < 1----2

           2----1

9 de enero de 2012

Métodos de conteo



¿Que son los métodos de conteo?

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el numero de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

A) Tareas con una fase

     1.Lanzar una moneda al aire (2 posibles resultados)

     2.Tirar un dado (6 posibles resultados)

     3.Club de 5 miembros (5 posibles resultados)

B) Tareas con dos fases

    

     Ej. 1) Determine la cantidad de  numeros de dos digitos que pueden escribirse con los digitos {1,2,3}

      

                | 1   2   3

             1 | 11 12 13

             2 | 21 22 23

             3 | 31 32 33